Trọng tâm là gì? Công thức tính trọng tâm của tam giác

trọng tâm là gì, công thức tính trung tâm của tam giác như thế nào? Mời các bạn đọc bài viết dưới đây để hiểu thêm về trọng tâm tam giác, tri thức rất quan trọng và phổ quát trong những niên học phổ thông nhé.

trọng tâm là gì?

Một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

trọng điểm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

G là trung tâm của tam giác ABC.

tính chất của trọng điểm trong tam giác

Khoảng cách từ trọng điểm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng điểm G, ta có: GA = 2 AM GC = 2 GP BG = 2 GN

trọng tâm tam giác vuông

trung tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

Tam giác MNP vuông tại M. 3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.

trọng điểm tam giác cân

Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm. Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng điểm tam giác cân ABC như sau: Góc BAD bằng góc CAD. Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

trọng điểm của tam giác vuông cân

Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng điểm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC. Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên: AB = AC. => BP = CN và BN = AN = CP = AP.

trọng tâm tam giác đều

Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. cho nên theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Cách tìm trung tâm tam giác

Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, tuần tự xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Bước 2: Nối tuần tự các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E. Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng điểm của tam giác ABC.

Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

Xác định trung tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC. Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo thuộc tính trung tâm tam giác thì điểm S chính là trọng điểm tam giác ABC.

Bài tập về trọng tâm tam giác

Bài 1 Thực ra những người hay cười, lại luôn cần người khác yêu thương. : Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng điểm I. Tính độ dài đoạn AI?

Giải:

Ta có I là trung tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác). Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm). Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.

Bài 2:

Cho I là trọng điểm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.

Giải:

Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S. Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng điểm I. Ta có ∆MNP đều, suy ra: MS = PR = NO (1). Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến: MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2). Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Ngoài trọng tâm, tam giác còn có các kiến thức khác như diện tích tam giác , chu vi tam giác , đường cao tam giác , mời các bạn tham khảo.